一种有效的平面坐标系坐标转换方法探讨

何 健
（钦州市测绘院 广西钦州 535000）

【摘　要】　本文为了更好地解决钦州市1954年北京坐标系与1980西安坐标系之间的新旧坐标成果转换问题，提出了一种新的坐标转换数学模型，并通过工程实例来验证了该模型的精度，为我市新旧测绘成果的“平稳过渡”奠定了基础。
【关键词】　WGS-84坐标系 地方坐标系 坐标转换 多项式拟合法

　　0 引言
　　WGS-84坐标系与地方坐标系、地方坐标系之间的坐标转换，如采用Bursa-Wolf（7参数）或Molodensky（3参数）经典模型进行计算，过程复杂、计算量大，另外普通测量用户很难获得高精度的ζ值，直接影响到转换参数以及转换成果的精度[1]。当前，我市启用1980西安坐标系统后，亟需研究一种有效的平面坐标计算方案，将原有基于1954年北京坐标系下的国家基本系列地形图、控制成果、大比例尺各类工程规划用图、地籍地形图以及房产宗地图等资料，转换成1980西安坐标系下的测绘资料，以实现新旧测绘成果的“平稳过渡”。为此，本文提出一种有效的二维坐标转换方法——多项式拟合法。
　　1 多项式拟合法基本原理
　　1.1 基本思路
　　局部区域GPS大地高转换正常高采用多项式拟合方法能够获得较好的成果[2，3]，能否利用二维坐标差值Δx、Δy与平面坐标（x，y）的关系，采用多项式拟合方法实现不同坐标系之间的二维坐标转换。本文就这个问题进行了数学模型推导[4]，并通过实例对其坐标转换精度和可靠性进行了分析。
　　1.2 数学模型
　　假设WGS-84坐标系的平面坐标（xs，ys），地方坐标系的平面坐标为（xL，yL），建立坐标转换关系：
　　　　　……（1）
　　　　　……（2）
　　式（2）即为多项式拟合法的基本数学模型，可以用一个统一的数学模型代替，即：
　　　　　……（3）
　　式中，为多项式系数；Fi为随机向量；dxi、dyi为第i个GPS控制点相对于测区中心点平面坐标的差值；i＝1，2，3，…，n；n为公共点个数。
　　由式（3）列出误差方程：
　　V＝Aβ－l　　　……（4）
　　式中，l为Fi组成的观测向量；V表示l的残差向量；β为未知参数向量；A为设计矩阵。由最小二乘原理[5，6]可得未知参数向量β的估计向量：
　　　　　……（5）
　　在式（5）求解过程中，假设各公共点二维向量观测值为独立等权。
　　由式（1）得到式（6）：
　　　　　……（6）
　　利用公共点坐标分量的差值组成观测向量l。对WGS-84坐标系下的平面坐标（xsi、ysi）进行中心化，构建设计矩阵A。由式（5）计算未知参数向量估值，即多项式系数，分别确定二维分量的回归方程。给定WGS-84坐标系下任意点的平面坐标（xs，ys），由式（1）、式（2）转换得到地方坐标系下的二维坐标（xL，yL）。
　　1.3 精度评定
　　由观测向量l、设计矩阵A和式（4）、式（5）计算公共点观测量拟合残差vi，得到未知参数单位权中误差的估值m0。
　　　　　……（7）
　　式中，n为公共点个数；t为未知参数个数。
　　未知参数单位权中误差是反映未知参数解算的内符合精度。为了检验多项式拟合法二维坐标转换的可靠性，本文采用经典模型的平差成果对转换成果进行外符合精度检测，作为最终成果的精度评定标准。
　　2 计算与精度分析
　　2.1 工程简介
　　钦州城市GPS框架网布设了60个控制点（如图1所示），平均边长约8km，覆盖面积约3000平方公里，按照B级网技术要求进行GPS观测。本文以钦州城市GPS框架网为例，介绍多项式拟合法计算过程及计算效果。

图1 钦州城市GPS框架网布点图

　　2.2 数据处理
　　采用美国麻省理工学院和Scripps研究所共同研制的GAMIT（Ver 10.21）软件进行GPS基线数据处理，获得高精度的三维基线向量，采用武汉大学卫星导航定位技术研究中心研发的PowerADJ（3.0V）软件进行GPS网平差计算。WGS-84坐标系下利用B094、C033、C035、C036作为起算点进行二维约束平差，起算点兼容性良好，平面精度为±5mm，最大点位中误差为±6.2mm。1980西安坐标系下利用B094、C036、Ⅰ013、Ⅰ058、Ⅱ062、Ⅱ063作为起算点进行二维约束平差（简称80西安平差成果），起算点兼容性良好，平面精度为±10mm，最大点位中误差为±9.2mm。
　　2.3 转换方案
　　根据多项式拟合法的数学模型，利用公共点两套坐标（xs，ys）和（xL，yL），由式（5）求取多项式系数；以WGS-84坐标系待转换坐标（xs，ys）为输入数据，由式（1）、（2）计算得到1980西安坐标系的平面坐标（xL，yL）。
　　本文设计了四套方案进行坐标转换，分别对公共点的数量和点位分布的差异进行讨论。
　　方案1：以相邻点间约25km的距离均匀选择10个公共点，这些点分布在控制网的四周和中央，如图1所示。
　　方案2：在方案1的基础上去掉北面的B094号点，利用9个公共点进行转换计算。
　　方案3：在方案1的基础上去掉D005、D023号点，利用8个公共点进行转换计算。这些点基本分布在控制网的四周，相邻点间平均距离达到35km。
　　方案4：在方案1的基础上均匀增加到16个公共点，相邻点间平均距离约为20km。
　　2.4 精度分析
　　由式（4）、（5）、（7）分别计算各套方案的多项式系数和未知参数单位权中误差的估值如下表（1）所示。

　　从表1的数据分析可知，方案1、2、4的二维分量未知参数单位权中误差精度相当，方案3在y分量的转换精度略有下降。
　　利用各方案解算的多项式系数将待定点WGS-84坐标转换为1980西安坐标系下的平面坐标（简称80西安转换成果）。假设80西安平差成果为真值，按照式（8）、（9）求出转换成果与平差成果的二维分量残差vi和外符合精度中误差mi0，如表2所示。
　　　　　……（8）
　　　　　……（9）

　　由表2分析可知，方案2和方案3由于公共点分布不均匀，公共点间的距离过大，导致所建立的数学模型精度偏低。方案1和方案4所得的二维分量残差中误差整体较好，x、y分量的精度相当。
　　本文选择方案4作为最终坐标转换成果，44个外符合精度检测点的二维分量残差分布如图2所示，二维分量多项式拟合曲面趋势图如图3、4所示。可以看出，不同坐标系间的二维分量变化量和变化趋势存在较大的差异。

图2 平面二维分量残差分布图

图3 x分量多项式拟合曲面趋势图

图4 y分量多项式拟合曲面趋势图

　　采用方案4转换的平面成果精度分析如下：x、y分量外符合精度检测中误差分别为mx＝±0.002m和my＝±0.004m，平面转换精度达到了毫米级，与经典坐标转换方法所得到的结果相一致。
　　3 结论
　　由上述分析可知，多项式拟合法是一种采用平面坐标位置作为因变量的二维坐标转换方法。当公共点分布较均匀且点间距离适当的情况下，所建立数学模型在平面x分量和y分量的转换精度能够达到毫米级，与经典方法得到的结果相一致。
　　多项式拟合法的最大特点是以转换点的高斯平面坐标（x，y）为因变量，不需知道目标椭球似大地水准面差距ζ，就能够实现不同坐标系间的二维坐标转换，具有坐标转换精度高、成果可靠、便于应用等优点。该方法适合任意坐标系间平面坐标转换计算，通过编制专用坐标转换程序能够批量转换旧成果资料，为我市新旧测绘成果的“平稳过渡”奠定了工作基础。

【参考文献】
[1] 周忠谟.地面网与卫星网之间转换的数学模型.测绘出版社，1984年
[2] 陆彩萍、伍吉仓、王解先.顾及EGM96模型的GPS水准高程拟合.测绘工程，2002，11（3）：31~34
[3] 邸国辉、姜卫平.GPS水准及其在测绘工程中的应用.地理空间信息，2006，4（1）：6~8
[4] 覃振康、廖超明、何健.北京54坐标系与西安80坐标系坐标转换方法探讨.南方国土资源，2007.9（9）：42~46
[5] 姚宜斌、平面坐标系统相互转换的一种简便算法.测绘信息与工程，2001，26（1）：1~18
[6] 於宗俦、鲁林成.测量平差基础.测绘出版社，1994年6月