把综合曲线上的点统一到
国家坐标系或城市坐标系中来

李先仪1、何本茂2
（1.广西合浦县城市建设测绘队 广西合浦 536100
2.广西安科岩土工程有限责任公司 广西南宁）

【摘　要】　介绍二次转换坐标的方法，将综合曲线上的点解算成国家坐标或城市坐标。
【关键字】　综合曲线 坐标 换算 程序

　　1 前言
　　随着城镇化进程的加快和交通事业的迅速发展，城市道路和高等级公路的建设日益增多，这些道路在转弯处大都设置综合曲线。用传统的假设坐标法或偏角法等方法来计算和测设曲线显得繁琐、易出差错，并且放样的点位精度低、工作效率不高。本人在这里介绍一种二次转换坐标的方法来计算综合曲线的点位，并运用CASIOfx_4800p计算器编程，使计算得出的结果就是国家坐标或城市坐标，那么测设综合曲线实际上就是放样坐标。
　　2 坐标变换的一般公式
　　如图（一）所示，X0Y为主坐标系，国家测量坐标系和城市测量坐标系都属于主坐标系。为副坐标系，假定坐标、建筑坐标都属于副坐标系。副坐标系的坐标原点在主坐标系中的纵、横坐标分别为X0＝a，Y0＝b；主副坐标的纵轴的夹角为θ，亦即副坐标系纵轴0X在主坐标系中的方位角；点P在主坐标系中纵、横坐标分别为X、Y，在副坐标系中纵、横坐标分别为、；副坐标换算成主坐标的公式为：

图（一）

　　3 统一曲线坐标系的建立和曲线上各点坐标的计算
　　3.1 统一曲线坐标系
　　建立以曲线的起点（即切点ZH）为原点，以起点至转点（JD）的切线方向为纵轴X'，过起点与纵轴垂直的方向为横轴Y'的直角坐标系X'0'Y'；根据曲线偏转方向的不同，有图二、图三所示两种形式。为了便于直观和理解公式，在图上标出副坐标系X″0″Y″（副坐标系以HZ至JD的切线方向为纵轴X″，过HZ点与纵轴X″垂直的方向为横轴Y″）。

图二（曲线右偏）	图三（曲线左偏）

　　注：图中α为曲线转向角，程式中以Q表示；T为切线长；I为曲线上任意点里程。
　　3.2 曲线右偏时各点坐标的计算
　　在曲线坐标系X'0'Y'中，以里程I为变量的曲线各点坐标计算公式如下：
　　3.2.1 第一段缓和曲线（ZH～HY）
　　
　　3.2.2 圆曲线（HY～YH）
　　
　　3.2.3 第二段缓和曲线（YH～HZ）
　　此段曲线与第一段缓和曲线（ZH～HY）及圆曲线（HY～YH）不同，它在X'0'Y'坐标系中没有直接的计算公式。但曲线是连在一起的，里程是连续的，为把它们统一起来，可先将此段曲线在副坐标系X″0″Y″中的坐标计算出来，然后利用坐标变换公式把它们换算成X'0'Y'坐标系的坐标。
　　3.2.3.1 缓和曲线（YH～HZ）各点在副坐标系X″0″Y″中的计算
　　Xi″=#1
　　Yi″=－#2
　　Li＝HZ里程－I
　　3.2.3.2 缓和曲线（YH～HZ）各点坐标的换算
　　根据图二，X'0'Y'为主坐标系，X″0″Y″为副坐标系，换算参数用下列式子计算：
　　θ=180°+α
　　a=T[1－cos（180°－α）]
　　b=Tsin（180°－α）
　　得出了换算参数，便可进行坐标换算：
　　Xi'= T[1－cos（180°－α）]+Xi″cos（180°+α） －Yi″sin（180°+α）
　　Yi'= Tsin（180°－α） +Xi″sin（180°+α） + Yi″cos（180°+α）
　　3.3 曲线左偏时各点坐标的计算公式
　　3.3.1 第一段缓和曲线（ZH～HY）
　　Xi'=#1
　　Yi'=－#2
　　Li＝I－ZH里程
　　3.3.2 圆曲线（HY～YH）
　　Xi'=#3
　　Yi'=－#4
　　Li＝I－ZH里程
　　
　　3.3.3 第二段缓和曲线（YH～HZ）
　　3.3.3.1 缓和曲线（YH～HZ）各点在副坐标系X″0″Y″中的计算：
　　Xi″=#1
　　Yi″=#2
　　Li＝HZ里程－I
　　3.3.3.2 缓和曲线（YH～HZ）各点坐标的换算：
　　根据图三，换算参数用下列式子计算：
　　θ=180°-α
　　a=T [1－cos（180°－α）]
　　b=－T sin（180°－α）
　　X″0″Y″坐标换算成X'0'Y'坐标：
　　Xi'= T[1－cos（180°－α）]+Xi″cos（180°－α）－Yi″sin（180°－α）
　　Yi'=－Tsin（180°－α） +Xi″sin（180°－α） + Yi″cos（180°－α）
　　3.4 小结
　　第一次应用坐标变换公式将第二段缓和曲线（YH～HZ）统一到曲线坐标系中，那么第一段缓和曲线（ZH～HY）、圆曲线（HY～YH）和第二段缓和曲线（YH～HZ）就处在同一坐标系了，便于下一步将它们整体换算。
　　4 曲线坐标换算成国家坐标或城市坐标
　　4.1 参数计算
　　国家坐标系和城市坐标系都是主坐标系，曲线坐标系是副坐标系；参照图一，θ就是曲线坐标系X'0'Y'的纵轴0'X'在国家坐标系或城市坐标系中的方位角，亦即是曲线起点ZH至转点JD的方位角（程式中以U表示）；a（X0）和b（Y0）就是曲线起点在国家坐标系或城市坐标系中的纵横坐标；这些参数可通过已知的转点和直线上的点的坐标及切线长来解算出来。
　　4.2 坐标换算
　　X＝X0+Xi'cosU－Yi'sinU
　　Y＝Y0+Xi'sinU+Yi'cosU
　　注：X、Y是曲线上的点在国家坐标系或城市坐标系中的坐标。
　　5 程序
　　根据上面的公式，用CASIOfx—4800p计算器结合我们的使用习惯进行编程。程序中设置转向参数K，通过K=±1的选择，使程序适合曲线不同偏转情况使用。程序还设置计算到达终点的提示，当里程变量I等于或超过终点里程时会显示“END”，并计算曲线终点坐标。
　　5.1 主程序
　　综合曲线：ZHQX
　　

　　程式中符号代表的意义：X0、Y0————综合曲线起点（切点ZH）在国家坐标系或城市坐标系中的纵、横坐标；U———曲线起点（ZH）至转点（JD）的方位角；R———曲线半径；L0———缓和曲线长；Q———曲线偏角；G———曲线起点（切点ZH）的里程；K———曲线转向参数，这里规定：曲线右偏K=1，曲线左偏K=-1；I———曲线上任意点里程。
　　5.2 子程序
　　5.2.1 第一段缓和曲线（ZH～HY）程序：A.SUB
　　
　　5.2.2 圆曲线（HY～YH）程序：B.SUB
　　
　　5.2.3 第二段缓和曲线（YH～HZ）程序：C.SUB
　　
　　6 算例
　　6.1 已知条件
　　一道路设计在转弯处的曲线要素及道路控制点的坐标如下列表1、表2：

道路控制点（交点或转点）坐标表：　　　　　　表1

曲线要素表：　　　　　　　　　　　　　表2

　　6.2 起始数据准备
　　以K3+201.68的ZH点作为曲线起点，那么曲线就是右偏，转向参数K=1；根据K3+174.93交点的坐标、K3+357.3转点JD2的坐标和切线长T，可以解算出ZH点的坐标X0=97870.869 、Y0=70677.319 ；ZH点至转点JD2的方位角为U=207°35′15.45″。结合表1、表2，便可将程序运行所需的起始数据列出来（见表3）。

起算数据表：表3

　　6.3 程序运行步骤和计算结果：
　　运行程序，输入表3的起算数据和所求点的里程进行操作，便可得出所求里程点的坐标。

程序运行演示表：表4

综合曲线各里程点计算结果：表5