地理空间的数学定义及定位型地图符号的制约因素分析
钟业勋 魏文展 郑红波
（广西师范学院数学与信息科学研究所 南宁市明秀路175号 530001）
【摘 要】 在地心坐标系中定义地球椭球面的基础上，给出了地理空间的数学定义。根据拓扑学中的同胚映射，覆盖空间等理论，推导了制图区域、地图投影、制图物体及其在椭球面和地图平面上的定位等概念，通过对地图符号平面定位的单一性与其对应的制图物体性质多样性的分析，揭示了同一平面位置上可以依制图目的的不同而分别表示多种事物的性质或量值的基本原理，阐释了对同一制图区域进行多专题制图的客观条件和物理基础。
【关键词】 地心坐标系 地球椭球 地理空间 制图区域 制图物体 地图符号
地理系统研究人类赖以生存与生活和影响所及的整个自然环境与社会经济环境[1]。人类为了生存和发展的需要，必须以各种技术手段，采集和获取地理空间的相关信息。现代测绘学，是信息科学的一个分支，是获得物体的空间位置和属性信息[2]。地图作为空间信息的一种载体，它通过人们创设的地图符号集合，能把制图区域内复杂的空间存在压缩为二维的简单关系，从而使广域空间内的自然现象和社会经济现象的空间分布、地理特征和相互关系跃然纸上。二维地图是人类认识上的飞跃，是人类原始思维向抽象化发展的结果[3]。地图总涉及到地理空间、制图区域和制图物体等基本概念。在现行的大中专教材及有关地图学文献中，尚未见这些基本概念的数学定义，因而不能从理论的高度对其概括和阐释。本文是笔者对地理空间、制图区域、制图物体数学定义的研究及其关联的地图符号的数学分析。
1 地理空间事物的椭球面定位
1.1 地心坐标系
以地球质心为大地坐标原点的坐标系，即地心坐标系。这种坐标系统是阐明地球上各种地理和物理现象，特别是空间物体运动的本始参考系。但长期以来，由于人类不能精确确定地心的位置，因而较少使用。目前利用空间技术等手段，已可在cm量级上确定它的位置，因此采用地心坐标系在当今既有必要性也有了可能性。现在利用空间技术得到的定位和影像等成果，客观上都是以地心坐标系为参照系[4]。使用地心坐标系，在国际上已成为一种明显的趋势。
地球空间事物的定位，涉及地球的形状和一定的坐标系。全球范围内，可用地心大地坐标系和地心笛卡尔坐标系表示点的空间位置。
1.1.1 地球椭球
大地水准面包围的地球形体比较接近真实的地球形状，但仍是一个有100m起伏幅度的复杂曲面，不能用简单的数学方程表示，更难以在此面上进行简单而又精密的坐标和几何计算[5]。为此，测绘科学中常以一个接近地球整体形状的旋转椭球代替真实的地球形体，这个旋转椭球称为参考椭球。在现代大地测量中，规定参考椭球是等位椭球或水准椭球，即参考椭球与正常椭球一致。一个等位旋转椭球由四个常数定义，这四个常数常是赤道半径a，地心引力常数GM，动力形状因子J2，旋转速度ω。考虑到便于利用GPS与国际兼容，我国建议采用参考椭球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；GM=3986004.418× ；ω=7292115× 。根据这四个常数，可以得出一系列导出常数[6]。根据地球的扁率f，可以求出椭球短半径b，从而可用数学方程表示一个已知长半径a和短半径b的椭球。
1.1.2 地心大地坐标系DL
地心大地坐标系是使地球质心作椭球中心，以过所求点c的椭球面法线与赤道面的夹角φ为纬度，以过c点的子午面与初始子午面的二面角λ为经度，以c点沿法线到椭球面的距离为大地高h，用c点的三个分量φ、λ、h表示其空间位置。地心大地坐标也即三维地理坐标系，记作DL。对于任何地球空间点c，总存在c=（φ、λ、h）∈DL|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-H～+H]。已知地球椭球的长半径a和短半径b，可定义椭球面。
定义1 地球椭球面 对c∈（φ、λ、h）∈DL，存在c1=（0°，λ，O）， c2 =（0°，-λ，O），c3 =（90°，λ，O），c4=（-90°，λ，O）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若点集满足：
S={c|c=（φ、λ、h）∈DL，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1）
则称S为以a为长半径，b为短半径的椭球面。若a，b分别为地球参考椭球的长、短半径，则称S为地球椭球面。
1.1.3 地心笛卡尔坐标系DK
以地心O为坐标原点，选择一个以赤道平面上一组相互垂直的直线为X、Y轴，而以地轴为Z轴，这样的坐标系称地心笛卡尔坐标系，记作DK。若以地球参考椭球的长半径a和短半径b作常数，则地球椭球面也可定义。
定义2 地球椭球面 存在地球椭球的长半径a和短半径b，若点集满足：
S=｛c|c=（x，y，z）∈DK∧ =1｝ （2）
则称S为以a为长半径，b为短半径的地球椭球面，其中2b即地轴兼旋转轴[7]。
1.2 地理空间
地理科学研究的对象是地球的表层，具体地讲，上至同温层底部，下到岩石圈的上部，指陆地住下5～6公里，海洋往下4公里。设地球表层的上限为H1，下限为H2，从而得h的定义域（适用于“地球表层”概念）为h∈[-H2，H1]。根据h的取值，以h=0的椭球面为界面，可定义地球内空间和外空间。
定义3 地球内空间 满足条件
IntK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧-H2≤h＜O｝ （3）
的点集，称为地球内空间。
地球内空间即指岩石圈顶部至地球椭球面之间部分。由椭球面与真实地球表面之间的差异，因此存在虽在地表之上却因其处于椭球面内侧而属于地球内空间的点集。
定义4 地球外空间 满足条件
ExtK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧O＜h≤H1｝ （4）
的点集，称为地球外空间。
地球外空间即是地球椭球面到同温层底部的空间。由于椭球面与自然面之间的差异，同样存在虽在地表之下却因处于椭球面外侧而属地球外空间的点集。
定义5 地理空间 地球内空间EntK、地球椭球面S和地球外空间EntK的并集，称为地理空间，即
K=EntK∪S∪ExtK|EntK，S，ExtK∈DL （5）
由于地理空间的上下限H1和-H2的选择与地球表层概念相适应，因此，地理空间的定义也就是地球表层的数学表述。
2 制图区域和制图物体
2.1 同胚
定义6 同胚 设X和Y是两个随意的拓扑空间，并设f：X→Y。如果f是连续的双一一函数，并且它的反函数f -1也是连续的，那么，f就叫做空间X到空间Y上的同胚或拓扑映射或拓扑变换；此时空间X与空间Y叫做同胚的，记作X≈Y。
如果f是空间X到空间Y上的一个同胚，A X，并且B=f（A），则称点集A与点集B是同胚的，记作A≈B；此时又称点集B是点集A在同胚f之下的同胚象或拓扑象。如果f是空间X到空间Y上的一个同胚，g是空间Y到空间Z上的一个同胚，则复合函数gf是X到Z上的一个同胚。空间的同胚关系≈是一个等价关系[5]。地貌等高线图形，也就是其上覆地貌的同胚象[6]。
2.2 覆盖空间
定义7 覆盖空间 设E和B是连通且局部道路连通的拓扑空间，f∶Ｅ→Ｂ是连续满射，如果对于每个c∈Ｂ，存在c的道路连通开域U，使得ｆ把ｆ -1（U）的每个通路连通分支同胚地映射成U，则称（E，ｆ）是Ｂ的覆盖空间，这种U称为容许邻域，Ｂ称为底空间，ｆ称为覆盖投影[10，11]。
2.3 制图区域和制图物体
2.3.1 椭球面上点c与过c点的椭球面法线ｈC的双一一函数关系
设c为椭球面Ｓ上的任意点，c∈S，过c点能且仅能作一条法线ｈC指向地理空间Ｋ。由于大地高ｈ以椭球面为起算面，故地球外空间ExtK=｛ｈC|0＜ｈC≤Ｈ1｝，地球内空间IntK=｛ｈC|-H2≤ｈC＜0｝。显然，地球空间的椭球面法线hC与椭球面上的投影点c是双一一函数。现把覆盖空间定义应用于地球外空间ExtK与地球椭球面S：令覆盖定义中的E=ExtK，B=S，f是连续满射， c∈S， |f -1（c）=hC∈ExtK，这里S是底空间，（f， ExtK）是S的覆盖空间，f为覆盖投影，c是hC在f下的同胚象或拓扑象。同理可说明地球内空间与地球椭球面的关系。
2.3.2 制图区域和制图物体的椭球面定位
定义8 制图区域 设A为S的子集，AS，如果A是S中一个连通的开集，那末，A就叫做S中的一个区域。点c∈A，c的邻域U的原象f -1（U） ∈f -1（A）被作为制图对象时，则称f -1（U）为制图物体。f -1（A）在椭球面上的投影A称为制图区域。c的邻域U在球面上的外在特征有三种：
1） 当U=c为单一点时，称c为f -1（U）的点状定位；
2） 当U=lC，lC表现为线状连通集时，称lC为f -1（U）的线状定位；
3） 当U=SC，SC表现为面状连通集时，称SC为f -1（U）的面状定位。
地理空间中的物体f -1（U）在椭球面上的定位形式关联着它在地图平面上的定位形式并决定着其关联的地图符号的类型。
3 地图投影和地图符号
3.1 椭球面上的点集到二维平面上的同胚象
定义9 椭球面在平面上的同胚象 设A为椭球面上的一个制图区域，AS，存在二维平面S1，A1S1，g∶A→A1是连续满射，P∈A1， P的道路连通开域UP，使得g把g -1（UP）=U的每个道路分支同胚地映射成UP，则称UP为在g下的同胚象或拓扑象。
根据UP的原象U的性质特征及其在构建地图内容中的作用，可定义地图投影、地图符号的定位点、定位线和定位面。
定义10 地图投影 在椭球面S上，过纬度φ的垂直于地轴的平面与椭球面的交线称为纬线，记作Wφ；过经度λ的子午面与椭球面的交线称为经线，记作Wλ。由经纬线构成的球面坐标网记作Gφλ。若GAGφλ∧GA ∈A∈S，则GA 便是制图区域A的经纬网，GA在g下的二维平面A1S1的拓扑象g（GA）= GA1∈A1，称为制图区域A的经纬网投影或地图投影。
圆锥投影、圆柱投影、方位投影、高斯——克吕格投影等均是具体的地图投影[12]，它们都是球面经纬网满足某种条件（不同的映射g）的同胚象或拓扑象。
定义11 地图符号的定位点、定位线和定位面 制图区域A内，定义8给出的三类点c的邻域：c、lc ，Sc∈A，各自在映射g下的平面拓扑象g（c）=P，g （lc）=lP，g（Sc）=SP，分别称为A1内地图符号的定位点，定位线和定位面。
3.2 地图符号
地图符号是地图的语言，它通过形状、尺寸、颜色等视觉变量的有限组合[13，14]，对其指代的空间事物的性质特征、数量大小及相关信息，进行浓缩、强调和显化。地图作为地图符号的集合，由于它存贮和蕴含着巨量的信息、形象逼真的图形结构和信息并行传输的特点，使其成为人类了解自然界和社会，认知地理环境，表达各种与地理分布关联的科研成果的有效工具。根据地图符号在地图上定位要求可分为定位符号、说明符号和注记三类[15]。定位符号Q表现为性质特征i、定位方式UP、地图比例尺m和主体设计风格j的函数。
Q=q（i， UP，m，j）|i∈I，UP∈｛P，lP，SP｝∧UP∈A1，m∈M，j∈J （7）
（7）式中，i为Q所指代的物体f -1（U）∈K的性质，其标号集为I；UP为平面上的定位方式；m为地图比例尺，标号集为M；j为主体设计风格，其标号集为J。
1） i≠i′，UP=UP′，m=m′，j=j′=> Q≠Q′，表明同定位方式、同比例尺、同主体设计的不同性质的符号不相同，如三角点与水塔等点状符号，公路与铁路等线状符号，耕地与水域等面状符号的不同即属此列。
2） i=i′，UP≠UP′，m=m′，j=j′=> Q≠Q′，表明同性质同比例尺同主体设计的不同定位方式的符号不同。如泉、单线河和湖泊分别为点状（P）、线状（lP）、面状（SP）定位的同性质事物，各自归属于点状符号、线状符号和面状符号。点线符号构成图形图像，成为地图的主体，而面状符号则构成背景符号。[16-18]
3） i=i′，UP=UP′，m≠m′，j=j′=> Q≠Q′，表明同性质、同定位方式同主体设计的不同比例尺地图符号不同。如在《中华人民共和国地图集》[19]上，武汉市在1∶230万中国政区图中用1mm直径的红色实心圆表示，而在1∶1990万的世界地图上则用0.5mm的黑色空心圆表示。地图比例尺是导致地图符号分为非比例符号、半依比例符号和依比例符号的直接因素，比例尺改变还可以导致地图符号比例性质的改变。[20]
4） i=i′，UP=UP′，m=m′，j≠j′=> Q≠Q′，表明同性质、同定位方式、同比例尺而由不同主体设计的地图符号存在差异。比较同比例尺不同出版机构出版的地图中同类事物的符号，容易发现这种差异。这是由于不同的设计主体的认知结构、知识水平、审美风格等因素的差异综合影响的结果。
4 制图物体及其在地图上的映象的区别和联系
4.1 制图物体特征的多样性
制图物体f -1（U），是在椭球面上具有投影U=f（f -1（U））的地理空间中的点集，f -1（U）的上下界与地理空间的上下界合一。由于上下差距大，f -1（U）可以包容许多空间信息，如某深度的地质构造、矿藏、地上的人口数、民族、某种产品或产值、气温、降雨、高程等等。总之，它包含着众多的属性信息及相关量值。当某种属性i∈f -1（U）时，i就存在着被地图表示的可能，而是否表示，则视制图目的而定。不同的制图目的（专题），对f -1（U）内的不同属性赋予不同的表示权重，权重大的优先表示。与专题无关的信息被舍弃。制图物体f -1（U）包容属性的多样化，是地图多专题表示的客观依据和物质基础。
4.2 地图符号表达空间信息的有限性、选择性和突显性
泰勒（D·R Fraser Taylor）称地图可视化是地图学的核心[21]。地图符号具有将有形无形的空间信息实现可视化的功能，它是使地理信息得以有效表达和传输的手段之一。地图载负量的限制和易读性的要求，使有限的面积Up=g（U）只能表示f -1（U）中的若干信息，这是地图符号表达空间信息的有限性。依据制图目的对f -1（U）中的属性进行选择表示的结果，使表示的信息得到了强调的突显，而其他信息则被舍弃。选取与舍弃并存是地图表示的特点。
4.3 实例
根据文献[19]中湖北省图的经纬网，可算出武汉市的坐标为东经114°17′，北纬30°34′，它的地理位是确定的和唯一的。在政区图上，武汉市用1mm的红色实心圆表示，处于长江与汉水的交汇点，其背景为湖北省的黄色质底。这既突显了它作为湖北省省会的行政等级，又表达了它与长江汉水的关系，实现了若干相关信息的表达。在中国气候图（三）上，武汉市和长江汉水则作为地理要素用较浅的棕色表示，处于较低的视觉平面上。而在此位置上的表示1年12个月的日照时数，日照百分率，…，降水量，降水的日数等多种气候数据的定位图表却十分醒目，图表所处的“北亚热带”图纹也明显异常。显然，在这图上，与气候相关的信息得到了优先选择和强调，水系、居民地等地理信息则降低了表示权重，而人口、工业、地质等信息已被舍弃。
5 结论
地图是环境空间中地学实体集合的质、数、时、空特性综合抽象后的图形符号模型，是客观事物的模型[22]。本文从空间物体的地球椭球面定位，椭球面到平面的地图投影和符号表达的过程，运用拓扑学、集合论等数学工具，对地理空间、制图区域和制图物体等概念给出了数学定义，分析了构建地图模型的基本元素——地图符号与制图物体的内在联系和区别，探讨了地图符号与地物的性质、定位方式、地图比例尺和设计主体的风格之间的函数关系，从而揭示了地图符号多样性的内在原因，提出了对地图符号的一种新的分类描述方法，对地图符号库的设计有潜在的应用价值。
所有地图皆与客观实际的两个基本要素有关，即位置及其上面的特征，位置仅指二维平面上的位置。位置上面的特征是某种性质或量值[23]。在同一点上，根据地图专题的不同可选择不同的性质或量值。本文从地理空间中的制图物f -1（U）经f映射为U=f（f -1（U））再由g映射到地图平面上成为UP=g（U）。这一复合映射关系把制图物体的多属性及其地图定位单一性进行了明白的表述。地图与实体的一对多关系，说明地图是客观世界的同态模型[24]。这一关系也阐释了同一制图区域A，存在着多专题制图的物理基础和客观条件。正是这样的客观条件与人类需求的多样性、地图表示的有限性和人类创造性思维的无限性结合，从而导致了地图符号表示多样化、专题地图多样性的地图大千世界的存在和发展。
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作者简介：钟业勋，教授，现主要从事地图学理论研究，代表成果：地图模糊矩阵模型与制图术语表述数学化研究；地图易读性度量研究；地图数学定义的研究；地图图像系统为布尔代数系的证明等。已发表论文70余篇。
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