由子午线弧长和球面梯形面积反算纬度的方法

钟业勋 魏文展
（广西师范学院数学与信息科学研究所 南宁市明秀路175号 530023）

【摘　要】 提出了由子午线弧长Sm和球面梯形面积F反算纬度φ的原理和方法，给出了CASIO fx4800P计算器的反算程序，并用实例检验了该方法的正确性和可靠性。
【关键词】 子午线长 球面梯形面积 纬度 反算

　　根据地图投影的有关文献^[1-2]，以纬度φ为变量，可以计算从赤道到纬度φ的子午线弧长Sm以及从赤道到纬度φ的经差为一弧度的椭球面梯形面积F。但是，由于正算公式比较复杂，至今未见以Sm或F为变量，反算纬度φ的公式。笔者研究了由Sm或F反解纬度φ的问题，本文便是对这一问题的探讨。
　　1　理论依据
　　1.1　双一一函数
　　定义1　设f： X→Y，x，x′∈X，如果
　　x≠x′f（x）≠f（x′）
　　则称f是X到Y的单函数或一一函数。如果f既是X到Y上的满函数又是单函数，则f叫做X到Y上的双一一函数。
　　下面的命题的真实性是明显的：
　　设f：X→Y，x，x′∈X，f是单函数（f（x）=f（x′）x=x′），又f是单函数 y∈ranf，y在f之下的原象是惟一的^[3]。
　　1.2　纬度φ与子午线弧长Sm及球面梯形面积F的对应性
　　φ的定义域domR为0°～90°，令φ∈X，f（φ）=Sm∈Y，显然，φ≠φ′f（φ）≠f（φ′），即Sm≠S′m，从0°～90°，每个φ惟一地对应着一个Sm，其单值性和满函数是明显的，故f为双一一函数。Sm在f之下的原象φ是惟一的，则表明其逆函数也是双一一函数。
　　同理，由φ到F的函数也是双一一函数，F到φ的逆函数也是双一一函数。
　　根据φ与Sm，φ与F的双一一函数关系，我们必定能从Sm或F，反算出满足某种精度的纬度值φ。
　　2　由Sm反算纬度φ的方法
　　2.1　由φ正算纬度Sm的公式^[1-2]
　　Sm=Aφ+Bsin2φ+Csin4φ+Dsin6φ+Esin8φ　（1）
　　（1）式中的系数A、B、C、D、E从表1中取得。

表1　椭球参数及Sm和F公式的系数

　　2.2　用CASIO fx-4800P计算器计算纬度φ的程序
　　程序中可用A替代变量φ（（1）式中φ的系数A为具体的数字）。程序中使用的符号与（1）式中的符号对应为：S-Sm ， A-φ，Z-给定的S值，V-Z对应的A值。程序为：
　　Fix5：Lbll：{A}：S=111133.0046A-16038.528sin2A+16.833sin4A-0.022sin6A+0.00003sin8A
　　Lbl2：{z}：Abs（Z-S）＞0 V=（A+（Z-S）÷111132：A=V：Goto1： Fixm{V}
　　EXIT EXIT
　　将程序输入计算器后，便可用逐渐逼近法反解Z所对应的纬度A。
　　2.3　算例
　　已知Z=850096米和Z=4800000米，分别解算其对应的纬度A，计算结果如表2。

表2　计算成果表

　　例（一）的两组结果均为A=7.68754°，例（二）的两组结果均为A=43.33555°。计算结果表明，本方法可以任意选择初始值输入，其结果相同且收敛较快。
　　3　由F反解纬度φ的方法
　　3.1　从赤道到某一纬度φ、经差为一弧度的梯形面积F公式^[2]

　（1）

　　式中a为椭球长半径，e为第一偏心率。在程序中以A代φ。（2）式经变换后得：

　（2）

　　（2）式中的a、e，（3）式中的 ， 从表1取得。F的单位为平方公里。
　　3.2　用CASIO fx4800P计算器由F反算纬度φ的程序
　　程序使用符号与（3）式中对应为：A-A（纬度），P-给定的F值，V-P对应的A。本程序取IAG-75椭球的参数。
　　Fix5：Lbl1：{A}：E=0.081819221sinA：F=123468352.9（（2E÷（1-E^2））+ln（（1+E）÷（1-E）
　　Lbl2：{p}：Abs（P-F）＞0V=（A+（P-F）÷600000：A=V：Goto1：Fixm{v}
　　EXIT EXIT
　　3.3　算例
　　已知P=22000000平方千米和P=18000018平方千米，分别求其对应的纬度A。

表3　计算成果表

　　例（一）的两组结果为A=32.93747°，例（二）的两组结果A=26.42712°。计算表明，本程序对初始值的选择具有任意性。
　　4　结论
　　根据赤道到某一纬度φ的子午线弧长Sm或赤道到某一纬度φ，经差为1弧度的球面梯形面积F，反解纬度φ的问题，在制图实践中常会碰到。本文依据Sm和F关于φ的函数及反函数均为双一一函数的关系，从数学原理上论证了由Sm或F用逐渐逼近法反解纬度φ的可能性，并编制了适用于CASIO fx 4800P计算器的反解程序，用实例检验了程序的正确性。计算结果表明，本法可以反算出给定的Sm或F所对应的任意精确度（本例精度为10万分之1度）的纬度值，且收敛较快。

参数文献：
[1] 胡毓钜、龚剑文、地图投影（第二版），北京：测绘出版社，1992年.15-18
[2] 方炳炎编.地图投影计算用表，北京：测绘出版社，1979年.4
[3] 李孝传、陈玉清，一般拓朴学导引，北京：高等教育出版社，1982年.13
作者简介：钟业勋（1939-）教授，硕士生导师，现主要从事地图学理论研究。代表成果：地图模糊矩阵模型与制图术语表述数学化研究；地图易读性度量研究；地图数学定义的研究；地图图像系统为布尔代数系的证明等。已发表论文70余篇。
E-ail：zyxun3903@yahoo.com

The Inverse Computed Method of Latitude φ from the Meridional
Length Sm and Area F of Spherical Trapezoid

ZHONG Yexun 　WEI Wenzhan
（Institute of Mathematics and Information Science，Guangxi Teachers′ College，
175 Mingxiu Road，Nanning，China，530001）

Abstract： In this paper the authors pnt forward the inverse computed method of latitude φ from the meridional length Sm and area F of a spherical trapezoid and give the inverse computed program for the CASIO fx4800P electronic calculator .The correct and reliable of this method is tested and verifed by the examples.
Key words： meridional length；area of a spherical trapezoid；latitude；inverse computation.
About the author：ZHONG Yexun，（1939-），professor，master supervisor，He mainly researches the cartographic theory 。His typical achievements are a study on the cartographic fuzzy matrix model and mathematical expression of cartographic terms，a metrical research on map legibility，a research on the mathematical definition of maps，the proof of map image system belonging to Boolean algebraic one，etc 。His published papers are more than 70.
E-mail：zyxun3903@yahoo.com.cn