重复测量周期性信号探测

文鸿雁
（桂林工学院土木工程系 广西桂林 541004）

【摘　要】　变形分析数据处理中探测周期性信号是一项重要内容。多期观测数据规律性分析中，一般需要检测其是否含有某种周期性误差或干扰；在监测大型建筑物或高层建筑物动态形变时，则主要时分析周期性特征。如果某一时间序列既包含有趋势性成分，又包含又周期性成分时，通常先对趋势性分量用多项式进行拟合，然后对剩余残差是否含有周期性成分进行分析，其缺点时对选用拟合趋势性分量的多项式常常带有一行主观性；该文引入小波变换可克服以上方法不足，通过小波分解与重构，将时间序列分解为趋势性成分和残差，然后用方差分析和傅里叶变换对残差部分是否含有周期性分量进行分析，应用实例表明效果良好。

　　1 引言
　　在重复连续变形测量中，测量数据常常可能包含某种或综合成份的周期误差，探测各分析是否存在周期性信号是变形分析数据处理一项重要内容之一。例如文献[3][4]研究成果表明，对于同一地震水准路线，不仅上下午观测结果不同，而且具有明显的季节性周期摆动。因此水准测量成果用于分析地壳形变分析时，应将季节性的年干扰与地壳形变分别分析与讨论，前者一般包括灌溉、雨水、地下水位变化以及基岩受温度变化等影响；后者则主要为地壳垂直运动、地表层下沉和标石自身不稳定所致[4]。为此，在变形分析前对数据是否存在季节性的年干扰应进行检验。另一方面在监测大型构筑物，如桥梁在动荷载作用下的振动，高层建筑物在风力、温度作用下的摆动、地壳在引潮力、温度、气压作用下的变形，等等。这类变形的特点具有周期性[2][7]。监测这类变形一般采用连续的、自动的记录装置或采用GPS测量等手段，所得到的是一组以时间为坐标的观测数据，叫“时间序列”。分析这类变形观测数据时，主要是分析其周期性变化一些参数，即变形的频率和幅度是主要的参数[6]。所以对于周期性信号分析进行研究具有一定的理论意义和应用价值。
　　2 周期性信号分析传统方法
　　2.1 方差分析法
　　将数据按时间进行排列，如果周期性误差不存在，则只包含偶然误差差别，如果周期性误差存在，则位于同一相位上的各列内部之间仍差别很小，而位于不同相位上的数据之间则有较大的差别，所以这类问题可用数理统计中的方差分析法。如表1，将同一相位数据按列排列，现分析各列差别是否显著。用方差分析法，组成：
　　　　　　 　　（1）
　　　　　　 　　（2）
　　其中
　　　　　　 　　（3）

表1

　　　　　　　　（4）
　　　　　　　　（5）
　　建立F统计量：～F（m-1，m（n-1））　　（6）
　　选定显著水平α，查F分布表的分位值，当F>，则认为这批数据中存在有时段长为m的周期分量，否则就认为这批数据中周期性误差不显著。
　　2.2 傅里叶变换
　　1807年，法国数学家傅里叶（Joseph Fourier）指出，一个以T为周期的函数，如果在上满足狄利克雷（Dirichlet）条件，则在可以表示成它的傅里叶级数和。对于f（t）满足傅里叶积分条件，即①f（t）在任一有限区间上满足狄利克雷（Dirichlet）条件；②f（t）在无限区间[-∞，∞]上绝对可积，则定义傅里叶变换为
　　　　　　　　（7）
　　相应的傅立叶逆变换为
　　　　　　 　　（8）
　　一般而言，（7）式表示是从时间域到频率域的变换，（8）式表示是从频率域到时间域的变换。傅里叶变换适用于分析信号的频率。
　　应用实例1：如图1，某水准点间，每两月重复观测一次高差，10年共得60个观测高差（尾数），现分析年周期干扰是否显著。

图1 某水准点间10年每两月重复观测高差结果

　　方差分析法

每年的均值结果差异的显著性检验　　表2

　　从表2分析结果表明，不同月份的均值存在有显著差异，即年周期干扰显著。
　　采用傅里叶频谱分析，从图2中可以看出，从傅里叶频谱分析结果看出该数据中明显存在周期为6的信号，即存在年周期信号，分析结果与方差分析结果相同。

按年（不同月份）的周期性变化显著性检验　　表4

图2 原始数据及傅里叶变换结果

　　显然，在该实例中可以看出，两种方法结果均具有较好的效果。
　　3 基于小波方差分析法在分析周期性信号中应用
　　在实际应用中，有时待分析的序列中不仅含有周期性变化，也有趋势性变化，但这时无法直接应用方差分析方法来进行分析。这时方法之一就是先对趋势性变化用多项式进行拟合，然后将剩余残差是否存在周期性变化再进行分析，这种方法如果选择拟合趋势性变化多项式合理，则能取得较好效果[6]，但实际应用中对选择多项式形式和高阶多项式的次数常常受主观影响，从而对具体应用效果产生一定影响。本文引入小波分解方法，将待分析的序列分解成平滑信号和细节信号，平滑信号即反映了拟合趋势性变化，再用方差分析方法分析剩余细节信号是否含有周期性变化进行分析，则可实现对周期性信号的探测。
　　多分辨分析就是将被处理的信号用正交变换，在不同分辨级上进行分解，分解得到低一级上的信号叫平滑信号，在高一级上存在，而在低一级上消失的信号叫细节信号。多分辨分析可用下式表达
　　　　　　　　（4）
　　对任意函数f（t）∈V0可将其分解成细节部分W1和大尺度部分V1，V1还可以进一步分解，采用Mallat算法，将信号分解成不同频率成分：
　　　　　　　　（5）
　　其中　　　　（6）
是信号频率低于的成分，而是频率介于与之间成分。
　　上述小波分解式实际可写成
　　　　　　　　（7）
　　（7）式即为Mallat塔式分解算法，用图表示为：

图4 Mallat塔式分解算法

　　图4中低通滤波器H作用在一个序列的效果为
　　　　　　　　（8）
　　高通滤波器G作用效果为
　　　　　　　　（9）
　　是由给定的多分辨率分析确定的镜象滤波器。
　　按照Mallat算法将f（t）分解之后，可以根据经验信息，有效区分信号与噪声，然后进行滤波形成平滑信号和细节信号新序列。再用方差分析方法分析细节信号是否含有周期性信号则可实现对周期性信号的探测。
　　应用实例2：如图5是位于某江岸有断裂的危岩上的监测点高程H位移10年的变形观测数据绘制随时间的变化曲线，从图上可以看出，高程H位移有逐步下降的变化趋势[3]。

图5 高程H位移曲线

　　现要求分析其是否含有周期性误差。
　　显然该实例无法采用方差分析进行直接分析。
　　下面首先采用傅里叶频谱法进行分析，得到的频谱图如图6所示。该图未能明显地反映周期变化。

图6 高程H位移曲线频谱图

　　下面利用小波分解方法，将待分析地序列分解成平滑信号和细节信号，经过4次分解得到的平滑信号和细节信号如图7所示。下面用方差分析方法分析细节信号是否含有周期性信号。

图7 高程H位移曲线及4次平滑信号和细节信号

　　显然4次平滑信号反映了高程H位移曲线总体下沉变化趋势，已不含周期变化，而细节信号中可能含有周期性变化。

每年不同月份的均值结果差异的显著性检验　　表3

　　显然，从表3分析结果表明，不同月份的均值存在有显著差异，即年周期干扰显著。
　　下面用傅里叶频谱分析方法，探测其周期变化。

　　从图8可以看出，该细节信号明显含有12HZ的周期信号。
　　　　　　　　（23）
　　其中（a，b，c）＝（41.753，-211.581，60.402，-0.4053），残差的平方和S1＝61.52。

　　经小波分解并经傅里叶变换得到结果，将趋势变量与细节信号分别拟合得到结果如图10所示。
　　　　　　　　（24）
　　其中（a，b，c，d，e，f）＝（-51.212，35.717，20.218，0.128，0.751，0.011），残差的平方和S2＝27.20。

图10 高程H位移曲线与趋势分量多项式与细节正弦项拟合合成及残差曲线

　　4 结论
　　1.采用方差分析法和傅里叶频谱法均可以用于周期性信号的分析且效果较好，而傅里叶频谱法并能探测周期信号的频率。
　　2.当周期性信号隐含于趋势性信号之中时，这时方差分析法已无法直接应用，而傅里叶频谱法则未能探测周期信号的频率。
　　3.利用小波分解方法，将待分析的序列分解成平滑信号和细节信号，经过小波分解得到的平滑信号和细节信号，然后利用方差分析方法或傅里叶频谱法分别分析趋势分量与细节信号是否含有周期性信号，则能探测周期性信号，取得了很好应用效果。

* 国家自然科学基金资助项目（40574002），广西自然科学基金项目（0339072）

参 考 文 献
[1] 陶本藻.自由网平差与变形分析.测绘出版社，1984，154~156
[2] 罗志才、陈永奇、刘焱雄.GPS用于鉴别振动变形的实验研究.测绘学报，2000，29（2）：118～124
[3] 梁振英、牟秀珍、李明.论精密水准测量的误差传播、精度估计和质量控制.测绘学报，1997，26（3）：199～206
[4] Zhang Zhenglu，Zhang Chuanyin. Studying on new ideas and methods of deformation analysis. Proceedings of The 8th FIG International Symposium on Deformation Measurements. 1996.6：253～258
[5] W.Caspary，Th.Sutor. Robust estimation in the frequency domain. Proceedings of The 8th FIG International Symposium on Deformation Measurements. 1996.6：259～266
[6] 陈永奇、吴子安、吴中如.变形监测分析与预报.北京：测绘出版社，1998：47～50
[7] 文鸿雁、唐诗华、林文介等.基于小波变形分析模型.桂林工学院，1999，19（4）：339～343
[8] 文鸿雁.小波多分辨分析在变形分析中的应用.地壳形变与地震，2000，20（3）：27～32