地块面积统计过程中数值进位的误差分析

黎展荣1.2 杨如军2
（1 武汉大学遥感信息工程学院 武汉市珞瑜路129号 430079
2 南宁市国土资源局 南宁市东宝路3号 530022）

【摘　要】　在土地征地和土地调查工作中，经常会对将一个区域划分成多个子区进行面积汇总，由于对子区进行数值进位，会造成最后汇总数据与外围区域面积的不相等。这样的差异会有多大，会有怎样的特征，这就是本篇文章要讨论的问题。
【关键词】　进位误差 面积统计
【中图分类号】　P 231

　　一、问题来源
　　在进行城市道路建设过程中，经常会涉及面积统计的工作。由于规范上的需要或其他原因，数据会进行保留一定位数的进位处理，这会给最终的数据统计带来一些“不合理的结果”。
　　例如：下图实线包围的区域被虚线划分为多个子区，计算机通过外围的边界点，可以计算出面积A，根据四舍五入的规则取整数数值。各个子区根据边界点的坐标，也可以计算出相应的面积，将子区面积取整后，再汇总得到面积A_Sum。实际的情况中，往往A_Sum≠A。

图1 区域划分

Fig.1 Divided Patches

　　这类由于数值进位带来的误差，会给实际工作带来不小的麻烦。
　　尽管在数值分析、误差处理等资料中，都提到进位误差的问题，但对本文所考虑的这种类型的具体案例，作者没有查找到详细分析的技术文章。而应用中，许多进行统计工作的技术员也知道数值进位带来了数据统计的误差，但这样的误差影响有多大，有怎样的特点，他们并不了解，为此，作者将在文章中对这个命题进行详细的讨论（注：本篇文章的面积单位默认为平方米，不专门标注，采用其他面积单位不影响文章内容的讨论）。
　　二、地块面积的计算方法
　　为精确计算计算地块面积，首先要获取每个地块的坐标。在本篇文章中，我们只考虑折线多边形的情况，在实际的工作中，曲线都可以通过插值拟和来转换成折线。
　　折线多边形面积的计算是采用解析法。
　　（1）假设多边形有n个顶点，多边形各顶点坐标为
　　（2）多边形面积为：，其中
　　三、随机现象分析
　　1、随机现象
　　对于给出整数面积为A的区域，被随机地划分成n个子区，子区的面积为Si（i=1，2…n），用Round（Si）来表示对Si进行四舍五入的取整处理，也就是对Si进行只保留整数的进位处理，那么是一个随机变量。
　　2、X的取值范围
　　由于每个子区的面积要经过四舍五入运算，如果小数部分被舍弃，就相当该子区丢失了一定数量的面积，而如果在小数部分获得进位，则看成是该子区获得了一定的面积增量。无论是“增量”还是“减量”，它的绝对值都小于0.5。n个子区经过取整汇总，其和X的取值是在一定范围的随机数。关于取值的范围，有如下的结论：

　　结论证明：
　　（1），当n个子面的面积相等时，每个子面的面积为：Si＝A/n<A/（2A）<0.5，这时=0；
　　，令其中2A个子面的面积均为0.5，n-2A个子面的面积为0，这时=2A，X取得最大值；
　　（2）结论显然，证明略
　　（3）若将区域划分n+1个子面，将（0.5n-b）的面积均分给n个子面，b为一个极小微量，这时还剩余的面的面积为：A-（0.5n-b）＝A-0.5n+b，将该面与前面一个均分的面合并，记为第n个子面
　　Sn=A-0.5n+b+（0.5-b/n）＝A-0.5（n-1）+b，因为n<2A，所以Sn>0.5
　　Si（i=1，2…n-1）=（0.5n-b）/n<0.5
　　那么，＋Round（Sn）> Round（A-0.5（n-1）+b）= Round（A-0.5（n-1））
　　若将区域划分为n+1个子面，将0.5n的面积均分给n个子面，这时还剩余的面的面积为：A-0.5n，将该面与前面均分的面合并，记为第n个子面
　　Sn=A-0.5n+0.5，因为n<2A，所以Sn>0.5
　　Si（i=1，2…n-1）=0.5n/n＝0.5
　　那么，＋Round（Sn）< n-1+Round（A-0.5（n-1））= Round（T+0.5（n-1））
　　3、X的分布特点
　　对于本文中提到的问题，将区域分成n块，每块面积Si为一个随机量
　　fraction（Si）表示Si的小数部分
　　P（Fraction（Si）>0.5）表示Fraction（Si）>0.5的概率
　　P（Fraction（Si）<0.5）表示Fraction（Si）<0.5的概率
　　这里要强调两点：
　　（1）每个Si并非完全独立的随机量
　　（2）P（Fraction（Si）>0.5）< P（Fraction（Si）<0.5）
　　就（1）点，可以举例说明，假设区域A=1，n=2，S2=A-S1，显然S2不是独立的随机量。
　　就（2）点，可以转化成这样的命题：
　　任意给定的实数a
　　从取任意实数b<a
　　求P（fraction（b）<0.5）
　　有如下推导：
　　Int（a）表示取得a的整数部分
　　fraction（a）表示取得a得小数部分
　　a=Int（a）+fraction（a）
　　在条件0≤b≤Int（a）下，P（fraction（b）<0.5）=0.5
　　在条件Int（a）＜b≤Int（a）＋fraction（a）下，考虑fraction（a）>0.5和fraction（a）<0.5两种情形：
　　条件fraction（a）<0.5下P（fraction（b）<0.5）=1
　　条件fraction（a）>0.5下P（fraction（b）<0.5）=0.5/fraction（a）
　　从上面的过程，根据全概率公式，就可以推出P（fraction（b）<0.5），这里由于篇幅所限，不给出详细的推导。而实际的结果，P（fraction（b）<0.5）略大于0.5。
　　由于只考虑Si小数部分的取值，尽管每个Si不是完全独立的随机量，但除了最后的Sn-1和Sn的取值具有关联性，其他Si是无关的。
　　另外，虽然P（Fraction（Si）>0.5）< P（Fraction（Si）<0.5）
　　但这两者的数值非常接近，具有近似正态分布特征。
　　四、误差分布密度函数的参数估计
　　1、试验设计
　　为找到更准确的随机特征，我们进行X分布密度函数的参数估计。设计如下随机试验：
　　（1）给出区域面积A
　　（2）给出要分割的子区数量n，给出要获取样本的数量m
　　（3）进行一次随机试验，随机取得n个子区的面积Si（i=1，2…n），计算，存到数组aa中
　　（4）进行m次随机试验，获得不同的，存在aa（m），m=1，2…m
　　（5）参数估计
　　2、试验结果

表1 试验结果
Tab.1 Result of Experiment

图2 频度图
Fig.2 Frequency Chart

　　从前面的结论上看，因为A/n>0.5 ，所以X∈[501，1500]
　　采用参数的区间估计法，X～N，其中μ=999.66，σ＝0.89043。这时：
　　P（X=1000）=0.4005
　　P（X=999）=0.3642
　　P（X=1001）=0.1240
　　P（X<998）=0.0381
　　P（X>1002）=0.0032
　　五、总结
　　从推理和试验表明，这种将大区域划分为小的子区，子区经过进位处理后，累加起来的和数是一个随机量，符合近似的正态分布。最后和数与大区域的整数面积不相等的可能性还是相当大的，文章的试验中这种可能性达到1－0.4005＝0.5995。
　　误差的大小的取值范围取决于划分的子区的数量。
　　这里需要强调的一点，往往我们直观的判断，在上述的面积统计过程中，每个子区的小数部分向前进位和被舍弃的可能性是相等的，但事实上，被舍弃的概率要略大于进位的概率。
　　文章只讨论了在整数上进位的情况，实际应用可能是保留两位小数，或者以亩为单位，保留3位小数等方式。但这些方式与文章讨论的内容是类似的，我们都可以参照本篇文章的方法来进行分析。

第一作者简介：黎展荣，工程师，博士生。现从事遥感和地理信息系统研究工作。
　　　　　　　籍贯，广西宾阳。Email：123win@126.com

参 考 文 献
[1] 现代数学手册编纂委员会.现代数学手册.武汉：华中科技大学出版社 2001
[2] 季夜眉、吴大贤、等.概率与数理统计.北京：电子工业出版社 2001
[3] 姜启源、邢文训、谢金星、杨顶辉.大学数学试验.北京：清华大学出版社 2004
[4] 罗光莲、廖铁军、周章银.建立土地利用现状数据库过程中的面积误差分析.西南农业大学学报，Vo1.25，No.1.2003